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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 5 - Polinomio de Taylor

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5.2. Calcular el polinomio de Taylor de las siguientes funciones del orden indicado centrado en x0x_{0}.
a) f(x)=ln⁡(x)f(x)=\ln (x) de orden 3 con x0=1x_{0}=1.

Respuesta

Nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden 33 centrado en x=1x=1 de la función f(x)=ln⁡(x)f(x)=\ln (x)

Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura: p(x)=f(1)+f′(1)(x−1)+f′′(1)2!(x−1)2+f′′′(1)3!(x−1)3 p(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + \frac{f''(1)}{2!}(x - 1)^2 + \frac{f'''(1)}{3!}(x - 1)^3 Para poder completar nuestra respuesta, tenemos que encontrar entonces quiénes son f(1)f(1),f′(1)f'(1),f′′(1)f''(1) y f′′′(1)f'''(1). Vamos con eso:

f(x)=ln⁡(x) f(x) = \ln(x)
f(1)=0 f(1) = 0

f′(x)=1x f'(x) = \frac{1}{x} f′(1)=1 f'(1) = 1 f′′(x)=−1x2 f''(x) = -\frac{1}{x^2} f′′(1)=−1 f''(1) = -1 f′′′(x)=2x3 f'''(x) = \frac{2}{x^3} f′′′(1)=2 f'''(1) = 2

¡Listo! Reemplazamos los valores obtenidos en el esqueleto de nuestro polinomio de Taylor:

p(x)=(x−1)−12(x−1)2+13(x−1)3 p(x) = (x - 1) - \frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{3}(x - 1)^3
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Chiquinquira
4 de noviembre 9:48
Hola, Flor! En el Polinomio de Taylor donde reemplazas los valores, no sería 2/3 en lugar de 1/3?
0 Responder
Flor
PROFE
4 de noviembre 10:22
@Mary Hola Mary! Fijate que ese término sería f′′′(1)3!\frac{f'''(1)}{3!}

y 3!3! es 66, entonces nos queda...

f′′′(1)3!=26=13\frac{f'''(1)}{3!} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

Es por eso :) 

Si lo dejabas escrito como 3! entonces ahí si ponías 23!\frac{2}{3!}
0 Responder
Chiquinquira
4 de noviembre 12:09
@Flor, no me queda muy claro por qué 3! es igual a 6
0 Responder
Rocío
29 de septiembre 18:37
Hola Flor cómo estás?? Te hago una consulta, en f’’’(x) no sería igual 2/x^4??
0 Responder
Flor
PROFE
30 de septiembre 8:48
@Rocío Hola Rocío! Te muestro como hacés la derivada de f′′(x)f''(x) para que lo veas. 

f′′(x)=−1x2f''(x) = -\frac{1}{x^2}

Una opción es usar regla del cociente, tomamos a 11 como "el primero" y a x2x^2 como el segundo. Entonces nos queda:

f′′′(x)=−0⋅x2−1⋅2x(x2)2f'''(x) = -\frac{0 \cdot x^2 - 1 \cdot 2x}{(x^2)^2}

Reacomodamos:

f′′′(x)=−−2xx4f'''(x) = -\frac{-2x}{x^4}

Y ahí se te simplifica la xx de arriba con una de las del denominador y te queda

f′′′(x)=−−2x3=2x3f'''(x) = -\frac{-2}{x^3} = \frac{2}{x^3}

Avisame si ahí lo viste mejor cómo era la derivada! :)
0 Responder